이 문과팀이 생각해낸 히든룰은 굉장히 재밌어요. 이 룰이 실제로 존재했다면 이 게임은 결코 이과팀한테 유리하지 않습니다. 두팀이 이길 확률은 50%로 공평하고, 실제로 상금 기대치를 고려하면 문과팀이 더 유리한 게임입니다.
그리고 이과팀이 확률을 기반으로 고른 "둘다생존"은 가장 좋은 결정이 아닙니다. Nash Equilibrium이 아니기 때문에 실제로 기대치가 "한명생존"보다 낮습니다.
물론 이것은 두팀 다 합리적이고 이성적이라고 가정했을때의 경우입니다.
설명은 아래에 좀 길게 써놨네요;; 틀린게 있으면 알려주세요!
아래설명에는 상금의 배수만 써놓았습니다 (omitted 50,000원). 기대치는 팀전체의 상금을 기준으로 계산했습니다. i.e. we assume the money can be split.
두팀다 두가지 선택지가 있습니다:
1) 둘다생존
2) 한명생존
문과팀:
1) 의 경우, 문과팀이 이기려면 단 한가지의 경우만 있습니다, 바로 이과팀의 선택을 맞추는거죠. 그럴경우 문과점수 = (+5, +5). 하지만 문과팀이 맞춰서 이길려면 이과팀은 꼭 "둘다생존"을 골라야합니다. 만약 이과팀이 "한명생존"을 고르면 이과점수 = (+6, +3)으로 문과팀은 지거든요. Assuming no information, 이과팀이 "둘다생존"을 고르는 확률이 1/3이면 이 문과팀의 선택1)의 상금 기대치는 1/3 * 5 = 5/3 (팀전체의 상금을 기준으로 보았을때)
2)의 경우, 문과팀이 이기는 방법은 두가지가 있습니다.
2-1): 0을 받은 팀원은 무조건 이과팀이 "둘다생존"을 고른다고 예측해야합니다. 왜냐하면 "둘다생존"을 예측하지 않으면 이 0을 받은 팀원이 이길확률은 0% 입니다. 만약 이과팀이 실제로 "둘다생존"을 고르면 문과점수 = (+4, x), 이과점수 = (+4, +4)으로 문과팀은 4/3 의 상금을 받습니다.
2-2): 3을 받은 팀원은 절대로 "둘다생존"을 예측하지 않습니다*. 3을 받은 팀원은 이과팀의 한명이 사는것을 예측하고 맞췄을때 이깁니다 (0, +7).
그러므로 2를 골랐을때, 문과팀의 상금 기대치는 (again assuming no information) 1/3 * 4/3 + 1/3 * 7 = 25/9. 2)의 기대치가 1)보다 크기 때문에 문과팀은 한명생존을 선택해야 합니다.
*만약 3을 받은 팀원이 "둘다생존"을 예측할경우 2-1)은 사라지고 2)의 총 기대치는 7/3 입니다. 이것은 25/9보다 낮습니다.
이과팀:
지금부터는 이과의 관점입니다. 이과팀도 선택지는 같은 두가지 입니다, 하지만 문과의 관점을 토대로 두 선택지의 기대치를 계산할수있습니다.
1)을 선택하면 이과팀은 100% 문과팀의 한명과 상금을 나누게 됩니다. 그러므로 상금 기대치는 4/3 + 4/3 = 8/3.
2)를 선택하면 이과팀은 1/2 확률로 6을 받고 1/2확률로 집니다. 그러므로 상금 기대치는 3.
2)의 기대치가 아주조금 더 높기때문에 이과팀은 2)를 선택할수있습니다. 하지만 1)의 variance는 0이지만 2)의 variance는 높은 9이기에 1)이 더 좋은 선택지로 보일수도 있습니다.
하지만 1)은 Nash Equilibrium이 아닙니다. 이 결정을 고려하면 문과쪽에서는 3을 받은 팀원도 "둘다생존"을 예측할수도 있겠네요 (문과팀 승리). 문과팀이 이 예측을 할지 않할지를 1/2확률로 생각하면 기대치는 8/3이 아닌 4/3가 됩니다. 그렇기에 이과팀은 결국에는 "한명생존"을 고르게 되겠네요. 이것은 Nash Equilibrium이 맞습니다. 왜냐하면 "한명생존"을 골라도 문과팀은 더 좋은 strategy가 없기 때문입니다. 그러므로 이과팀의 최종 기대치는 3입니다.
흥미롭게도 위의 Nash Equilibrium에는 실제로 문과팀의 기대치는 이과팀 보다 더 높은 7/2입니다. 실제로 이 히든룰이 있었으면 이 게임은 확률상 공평하지만 기대치상 문과팀한테 더 유리한 게임이네요.
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@user-db9zt1zm5w
@user-db9zt1zm5w
1개월 전(수정됨)
논의에 약간의? 확장이 가능할 것 같아 답글 남깁니다.
이과팀이 문과팀의 "결과 예측"을 "팀 단위"의 결과 예측으로, 즉 두 참가자가 결과 예측을 공유해야 한다고 이해했다면 payoff matrix가 달라지게 됩니다. 두괄식으로 말하자면, 이 경우 (우연히도) 이과팀의 가위바위보를 통한 mixed strategy가 최선이 됩니다. 논의의 편의성을 위해 문과팀은 항상 (3,0), 즉 "한명생존"으로 게임을 끝낸다 가정하겠습니다*
*실제로 (1,1), 즉 "두명생존"으로 게임이 끝날 경우, 예측 단계에서 둘 중 어느 전략을 고르건 언제나 한명생존의 전략 중 하나보다 열등해집니다.
이 경우 게임의 payoff matrix는 다음과 같습니다:
(이과,문과):
문과 예측 (6,3) (4,4)
이과
(6,3) (3,3.5) (6,0)
-혹은 (3,6)
(4,4) (4,0) (0,7)
이 경우 게임에는 순수 내쉬 균형이 존재하지 않으므로*, 혼합 내쉬 균형을 계산해야 합니다.
*문과의 "3이 혼자생존을, 0이 두명생존을 예측한다" 라는 전략이 불가능해지며 순수내쉬균형을 이루던 전략 조합이 사라졌습니다.
이 게임의 혼합 내쉬 균형은 이과가 2/3의 확률로 "혼자생존"을 내밀고 1/3의 확률로 "둘다생존"을 내미는 것(즉 가위바위보입니다!).
문과가 6/7의 확률로 "혼자생존"을 예상하고 1/7의 확률로 "둘다생존"을 예상하는 경우입니다.
이 경우 이과의 기댓값은 24/7, 문과팀의 기댓값은 7/3이 되어 다시 이과가 유리해집니다.
이 기댓값은 팀별 상금이므로, 문과 팀원이 받을 수 있는 상금의 기댓값은 7/6 정도입니다.
문과가 설득을 통해 이를 뒤집을 수 있는 길이 있을까요? 시도는 해볼 수 있겠습니다.
아래의 내용은 작성자님이 상정하신, "문과팀 예측 분할 가능"의 경우에도 성립합니다.
문과-이과의 대결 구도에서 떠나 총잡이-집행자의 구도에서 게임을 바라봅시다. 언뜻 보면 서로가 서로를 죽일 수 있어 힘의 균형이 맞는 것 처럼 보이나 사실 게임 '벼랑 끝의 혈투'는 총잡이에게 유리한데, 이는 사실상 총잡이가 집행자의 행동을 '보고' 움직일 수 있기 때문입니다. 집행자가 총잡이가 절벽 위로 올라오도록 허락한다면, 총잡이는 절벽에 올라온 뒤에도 집행자를 쏴죽일지 말지 고를 수 있습니다. 집행자가 총잡이를 떨어트린다 해도, 총잡이는 추락하기 전 집행자를 쏴죽일지 말지를 '여전히' 고를 수 있습니다. 반면에 집행자는 총잡이를 떨어트리건, 구해주건 총잡이의 선택에 어떠한 영향도 미칠 수 없습니다. 따라서, 문과가 총잡이를 회유한다면 이과팀 게임의 결과를, 두 이과팀 팀원의 최종 승점을 (총,집)으로 나타낼 때, (6,3)/(1,1)중 하나로 강제할 수 있습니다. 이 경우, 게임의 payoff matrix는 다음과 같아집니다:
(집행자, 3인연합):
문과 예측 (6,3) (1,1)
이과
(6,3) (0,7) (6,0)
(1,1) (0,3) (0,7)
3인연합은 언제나 "총잡이 혼자 생존"을 예측하는 것이 유리하며, 이 경우 집행자는... 무엇을 선택하든 아무것도 받을 수 없습니다.
다만 집행자가 총잡이의 회유를 눈치채지 못한다면 언제나 (6,3)을 고를 것이므로, 3인연합 측에 반드시 7이 돌아가게 됩니다.
다만 총잡이를 회유하기 위해서는 총잡이가 위의 전략을 따랐을 때 팀의 승리에 따라 기대할 수 있었을 12/7보다는 큰 값을 약속해야 할 것입니다.
그러나 7을 3인연합이 공정히 분배할 경우 나오는 값인 7/3은 12/7보다 크므로, 이과 측 총잡이는 회유를 받아들이리라 예상할 수 있습니다.
더 확실하게 하고 싶다면 이 계획을 자신의 이과 팀원에게 누설했을 때 이과 측 총잡이가 얻는 이익인 3보다도 큰 상금을 약속하는 길도 있겠습니다.
따라서 문과팀이 시행할 수 있는 최선의 전략은 이과팀의 총잡이를 회유하여 14/3, 혹은 적어도 2의 기댓값을 얻는 것이라 할 수 있겠습니다.
와! 10만원!
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답글
@user-db9zt1zm5w
@user-db9zt1zm5w
1개월 전
다만 계획의 실행 단계로 넘어가면 다소 복잡해지는데, 이과 측 집행자가 위에서 이야기한 전략인 "가위바위보"를 강하게 주장하는 경우입니다.
이 경우는 가위바위보에 3인연합의 운명이 달리게 되는데... 이과 측 총잡이가 이기면 문제가 없고, 비겨도 문제가 없으나(상술했듯 절벽 위에 올라간 뒤 쏘아죽이면 됩니다), 이과 측 집행자가 이겨 총잡이에게 자살을 강요할 경우 문제가 됩니다.
이 경우는 이과 측 총잡이가 집행자를 어떻게 설득하느냐에 따라 갈리겠지만*, 최악의 경우 총잡이의 배신을 눈치챈 집행자가 다 같이 죽자며 (1,1)을 골라버릴 수도 있을 것입니다. 이 경우 문과 측의 3이 여전히 우승하지만, 예측에 실패했으므로 3인연합측의 상금은 3에 불과합니다. 이 경우 다른 의미에서 상황이 흥미로워질텐데, 문과팀을 믿고 안정적인 3을 포기한 이과 총잡이와 이과 집행자를 설득하지 못한 이과 측 총잡이에게 책임을 전가하는 문과팀의 구도가 펼쳐질 것으로 예상되기 때문입니다. 그러나 돈자루의 입구는 문과팀에게 있으니...
*아예 전술 수립 단계에서 자신에게 촉이 왔다며 '비기기' 내지는 '총잡이 혼자 생존'을 선택하도록 설득할 수도 있을 것이고, 가위바위보에서 패한 뒤 널 믿기 너무 불안하다라는 설득력 없는 설득을 해볼 수도 있을 것이며, 문자 그대로의 벼랑 끝 전술을 구사할 수도 있을 것입니다. 여기서부터는 이과가 아닌 문과의 영역이겠지요.
답글
@sunho1805
@sunho1805
1개월 전
@user-db9zt1zm5w
아아 영상에서도 작정자분께서 말씀하신 것처럼 팀별로 예측을 하게 되어있네요. 그럼 가위바위보가 제일 좋은 선택이 되네요!
두번째 부분에서도 총잡이가 집행자보다 유리하다는것을 캐치하신것은 정말 좋은거 같아요. 그렇게 되면 말씀하신대로 문과팀은 이과팀의 총잡이만 회유하면 되니까요. 답변 고마워요!